Pythagoras und Pentomino

Ein Lernspiel  -  entwickelt von Albert Weiss

Beschreibung, Anleitung, Aufgaben

1. Pythagoras, Pythagoreischer Lehrsatz (a2+b2=c2)
Lehrsatz: "Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat". Dieser im Prinzip schon den alten Babyloniern, Sumerern, Aegyptern und Indern vertraute Lehrsatz wurde durch den griechischen Philosophen Pythagoras (570  - 496 v. Chr.) bekannt gemacht und nach ihm benannt.

Formel/Lehrsatz: a2 + b2 = c2
graphisch dargestellt (Pythagoreisches Dreieck):

Kleinstes ganzzahliges Beispiel:
(Pythagoreisches Zahlentripel)
a2     3  x  3  =   9
b2     4  x  4  = 16
Total  a2+b2 = 25
c2      5  x  5  = 25

2. Pentomino (auch Pentamino oder Zwölfer-Puzzle genannt)
Fünf Einheitsquadrate werden so aneinandergefügt, dass je zwei benachbarte Quadrate eine gemeinsame Seite haben. Es können so zwölf unterschiedliche Figuren gebildet werden, wenn Spiegelungen und Drehungen unberücksichtigt bleiben.                  
In seinem 1907 erschienenen Buch "The Canterbury Puzzles and other curious problems" schildert der englische Rätselmeister und Puzzlist Henry E. Dudeney (1857 - 1930), dass ein erboster Schachspieler ein Schachbrett seinem Gegner derart über den Kopf gedroschen haben soll, dass das Schachbrett (bestehend aus 8 x 8 = 64 Feldern) in insgesamt 13 Stücke zerbrochen sei: 12 verschiedene Figuren bestehend aus je 5 Quadraten und ein Quadrat bestehend aus 4 Einzelquadraten.
Der Mathematiker Solomon W. Golomb gab im Jahre 1953 diesen zwölf Figuren den Namen "Pentomino", eine Anspielung auf die griechische Vorsilbe "penta" (fünf) und "Domino" (zwei zusammengefügte Einheitsquadrate).
Alle 12 Pentomino-Figuren umfassen somit insgesamt 60 (12 x 5) Einheitsquadrate und haben folgende Formen:

3. Pythagoras und Pentomino
Die Verbindung dieser zwei Gebiete führt zur Veranschaulichung des Pythagoras-Lehrsatzes an einem Beispiel unter gleichzeitigem Einbezug des räumlichen Vorstellungs- und Kombinations-Vermögens und des spielerischen Erlernens einer mathematischen Formel (a2+b2=c2).  
Zur gleichzeitigen Darstellung der 3 kleinsten ganzzahligen Pythagoras-Quadrate sind insgesamt 50 Einheitsquadrate notwendig (3 x 3 = 9,  4 x 4 = 16  und  5 x 5 = 25, Total = 50).  
Da die 12 Pentomino-Figuren jedoch insgesamt 60 Einheitsquadrate umfassen, müssen für die Darstellung des Pythagoras-Beispiels 2 Pentomino-Figuren (Z und I ausgewählt) weggelassen werden (60 - 2 x 5); zudem muss wegen der 9 und 16 Einheiten umfassenden zwei kleineren Pythagoras-Quadrate (nicht durch 5 ohne Rest teilbar) eine Figur in zwei Figuren aufgeteilt werden (Figur X ausgewählt): eine Figur mit 4 Einheitsquadraten (Tetromino, Form wie ein "halbhohes" T) und 1 separates Einheitsquadrat (Monomino): Mit den nun 11 Figuren (9 Pentominoes, 1 Tetromino, 1 Monomino) können folgende Quadrate erstellt werden:  

4. Aufgaben/Herausforderungen
a) Erstellen des Pythagoras-Quadrates a2 (3x3) aus 2 Figuren. 
b) Aus 4 der restlichen Figuren:     
    Erstellen des Pythagoras-Quadrates b2 (4x4).
c) Aus den restlichen 5 noch nicht verwendeten Pentomino-Figuren:
    Erstellen des Pythagoras-Quadrates c2 (5x5).
d) Zusammenfassen der beiden Pythagoras-Quadrate a2 und b2,
    d.h. aus allen 6 Figuren der beiden Pythagoras-Quadrate a2 und b2:
    Erstellen eines weiteren Pythagoras-Quadrates c2 (5x5).

e) Aus allen Figuren aller Pythagoras-Quadrate (a2, b2 und c2 resp. aus beiden c2):    
    Erstellen des Quadrates 7x7 (zum Aufbewahren aller Figuren in der Schachtel).
    Anmerkung: Alle 11 Figuren umfassen 50 Einheitsquadrate (10 x 5), 
    das Quadrat 7 x 7 umfasst jedoch nur 49 Einheitsquadrate, 
    deshalb bleibt das einzelne Einheitsquadrat ausserhalb des 7x7-Quadrates.

5. Weitere Spielmöglichkeiten
Mit den 11 Figuren (9 flache Pentominoes, 1 Tetromino, 1 Monomino, umfassend insgesamt 50 Einheitsquadrate resp. Einzelwürfel) können (wenn alle Figuren aus Einzelwürfeln bestehen) ähnlich wie beim Pentomino und Katamino auch beliebige zwei- und dreidimensionale (2D und 3D) Formen gebildet werden, z.B. ein Rechteck (umfassend 5 x 10 Einzelwürfel), oder ein Quader (umfassend 5 x 5 x 2 Einzelwürfel) oder eine vierstufige Treppe oder . . . . . . Der Fantasie sind praktisch keine Grenzen gesetzt.

Copyright: Albert Weiss